Wissenschaft

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Die Wissenschaftliche Methode

Die wissenschaftliche Methode ist wesentlicher Teil des Fundaments auf dem unsere Zivilisation errichtet ist. Sie ist das logische Konzept, das die Wahrheitsfindung zum Ziel hat.

Wie funktioniert die wissenschaftliche Methode, und was steckt dahinter?

Kern der wissenschaftlichen Methode ist der Beweis. Es gilt: Jede Behauptung muss bewiesen werden. Das funktioniert wie folgt. Als erstes stellt man eine Hypothese auf, eine Vermutung über eine Gegebenheit in der echten Welt. Im nächsten Schritt gilt es, diese Hypthese, die Alternativhypothese oder H1 genannt wird, zu beweisen.

Zum "Beweis" von H1 muss die so genannte Nullhypothese H0 verworfen werden. Was ist die Nullhypothese? Versuche ich beispielsweise zu beweisen (H1), dass ein Medikament einen bestimmten Effekt hat, dann wäre die Nullhypothese, dass es diesen bestimtmen Effekt nicht hat. Gelingt es einem also zu beweisen, dass der bestimmte Effekt eintritt, dann wird die Nullhypothese verworfen. Der Wissenschaftler spricht dann von einem statisch signifikanten Unterschied zwischen den Hypothesen. Das heißt, dass der Unterschied von H1 und H0 so groß ist, dass er nicht durch den Zufall, sondern die Wirkung des Medikaments erzielt wird.

Vorsicht ist geboten, wenn einem der Beweis einer Hypothese nicht gelingt. Dies beutetet nämlich nicht zwangsläufig, dass die Hypothese falsch ist.

Andererseits gilt: Es reicht bereits ein Gegenbeispiel, wenn man eine Hypothese widerlegen will. Behauptet man beispielsweise alle Schänwe seien weiß, dann genügt die Sichtung eines einzigen schwarzen Schwans, diese These ein für alle mal zu widerlegen. Die Lehrbücher müssen dann neu geschrieben werden.

Außerdem gilt: Wer etwas behauptet und einen Gegenbeweis zur Widerlegung der Behauptung fordert – getreu dem Motto: "Na dann beweis mir doch das Gegenteil!" – ist ein Scharlatan.

Beispiele

• Humanismus
• Sozialwissenschaften
• Statisch

Verwante Modelle

• Unkown unknowns
• Extremistan und Mediocristan
• Normalverteilung
• Schwarzer Schwan
• Die Welt sehen, wie sie ist

Arithmetik, Algebra und Analysis

Die Mathematik ist eine der elegantesten (Hilfs-)Wissenschaften. Für viele ist sie soggar die Königin der Wissenschaften: Sie verkörpert pure Logik und Rationalität in einer Art wie es Worte nicht darzustellen vermögen. Mit mathematischen Werkzeugen wie Arithmetik, Algebra und Analysis lassen sich Grundprinzipien der Welt erklären. Was hat es damit auf sich?

• Arithmetik beinhaltet die Grundrechenarten: Addition und so weiter
• Algebra ist die Lehre von Gleichungssystemen
• Analysis beinhaltet die Lehre von Ableitungen sowie die Integralrechnung

Die Grundrechenarten sind jedem Menschn intuitiv einleuchtend. Und doch hat es sehr lange gedauert bist Ideen wie die Null allgegenwärtig geworden sind. Heute ist das Konzept der Null für (fast) jeden Menschen selbstverständlich. Dass es aber so lange gedauert hat, die Null als Konzept zu etablieren, zeigt, dass die Null wohl doch nicht so selbstverständlich sein kann.

Gleichungssysteme sind unfassbar elegant: Was links steht, ist äquivalent mit dem rechten Teil der Gleichung. Das ist immer so! Mit den Grundrechenarten kann man Gleichungen beliebig umformen. Ohne das Konzept der Gleichungssysteme wäre unsere Zivilisation heute nicht da, wo sie ist.

Gleichungen findet man in nahezu allen nur denkbaren Bereichen: in der Versicherungsmathematik, im Fahrzeugbau, in der Informatik und der Statistik. Sie bilden die Grundlage von technischen Systemem. Durch Equivalenzumformungen (das ist das, was man in der Schule gehasst hat) kann man die Zusammenhänge der einzelnen Variablen erfassen.

Die Analysis ist eine recht neue Disziplin der Mathematik. Während Oberstufenschüler keine Lust mehr auf Kurvendiskussionen haben, ist Analysis eines der Werkzeuge, das Menschen zum Mond – und Mars (!) – gebracht hat.

Das Konzept der Ableitung erlaubt es beispielsweise, die Änderungsrate einer Funktion zu berechnen. In der Physik spielt Analysis eine ganz entscheidende Rolle. Die Formel für die Beschleunigung ergibt sich, wenn man die Formel für die Geschwindkeit ableitet.

Beispiele

• Mathematik
• Physik

Verwante Modelle

• Wissenschaftliche Methode

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind nicht-lineare Funktionen – Funktionen also, die für ein exponentielles Verhältnis von X und Y sorgen. Dadurch werden Effekte wie der Zinseszins möglich.

Für den Menschen sind diese non-linearen Beziehungen intuitiv sehr schwer zu erfassen, wie Kahneman in "Schnelles Denken, Langsames Denken (opens new window)" demonstriert.

Das menschliche Gehirn versteht lineare Größen wie Alter und Körpergröße; es kann allerdings intuitiv nur schwer nachvollziehen, wie jemand Milliardär wird – denn hier sind Potenzgesetze im Spiel.

Einfache lineare Beziehungen versteht das System 1 (schnelles Denken) für komplexe exponentielle Beziehungen bedarf es System 2 (langsames Denken.

Potenzgesetzte sind die Grundlage hinter Dingen wie der Pareto-Asymmetrie, dem Zinszeszins, Wachstum von Baktieren, Netzwerkeffekten und vielem mehr. Sie sind fundamentaler Bestandteil vieler mentaler Modelle und von nicht zu unterschätzender Bedeutung.

Beispiele

• 72er Regel
• Das Gleichnis von dem Bauern und dem König mit dem Schachbrett
• Moore'sches Gesetz

Verwante Modelle

• Pareto-Asymmetrien
• Zinseszinzs
• Netzwerkeffekte
• Zwei Systeme: Schnelles Denken, Langsames Denken

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist das Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit und damit verbundenem Wert. Er gibt an, mit welchem Ergebnis im Mittel zu rechnen ist.

Der Erwartungswert tritt selten genau ein, gibt aber bei einer Vielzahl von Situationen ein recht genaues Bild des zu erwartenden Ergebnisses.

Ein Beispiel: Wenn ich eine (perfekte) Münze werfe, dann vermute ich, dass Kopf in 50 % der Fälle auftritt (in den anderen 50 % wird Zahl auftreten). Wenn mit Kopf eine Auszahlung von 100 € verbunden ist (und 0 € bei Zahl), dann ist der Erwartungswert eines Wurfes 50 €. Natürlich bekommt man nei direkt 50 €, aber wenn man dieses Spiel 1.000 Mal (oder öfter) spielt, dann erbeben sich im Mittel die 50 € pro Wurf – das ist der Erwartungswert.

Die Schwächen des Erwartungswerts, etwa dass er kein Risikoverhalten modelliert, werden im Konzept des Erwartungsnutzens ausgebessert. Als deskriptives Modell hat dann allerdings die Prospect Theory von Kahneman und Tversky den höchsten Erklärungswert, da sie zusätzlich loss aversion und den Referenzpunkt-Effekt beinhaltet.

Nichtsdestotrotz ist der Erwartungswert ein fundamentales Konzept. Er hat direkt mit dem Denken in Wahrscheinlichkeiten zu tun. Im Grunde kann man sich Erwartungswert, Erwartungsnutzen und Prospect Theory als einen gesteigerten Dreiklang vorstellen:

1. Der Erwartungswert gibt eben nur den im Mittel erwarteten Wert an
2. Der Erwartungsnutzen gibt den im Mittel erwarteten Nutzen an, modelliert aber nicht Referenzpunkt-Effekte oder die Loss aversion
3. Die Prospect Theory ist die führende desktriptive Theorie, um das tatsächliche Verhalten von Menschen zu modellieren

Beispiele

• Risikoberechnung
• Expected Goals im Fußball
• Finance
• Poker

Größenordnung

Oft kann man Systeme schlecht im Detail beschreiben. Es gilt analog die Heisenbergsche Unschärferelation, und darüberhinaus ist eine genaue Messung oft zu teuer. Allerdings besteht fast immer die Möglichkeit, eine Größenordnung anzugeben. Eine Größenordnung ist dabei der Faktor 10. 100 ist demnach eine Größenordnung über der 10.

Die Angabe von Größenordnungen gleicht einer Heuristik, da sie einem dabei hilft, sich eine ungefähre Vorstellung von der Größe eines Effekts oder eines Systems zu machen. Journalisten haben mit Größenordnungen so ihre Probleme. Kaum eine Tageszeitung erscheint, in der nicht vereinzelt Größenordnungen falsch angegeben werden.

Es ist wichtig, ein Gefühl für Größenordnungen zu gewinnen. Das hilft nämlich dabei, die Welt besser zu verstehen. Ein Beispiel: Wie viele Einwohner haben die USA? Sind es drei Millionen oder eher 300 Millionen. Es geht gar nicht um die genaue konkrete Zahl (die sich ohnehin jedes Jahr ändert; Systeme sind dynamisch, nicht statisch), sondern die grobe Größenordnung.

Im Buch Factfullness vom leider bereits verstorbenen Hans Rosling wird die Bedeutung von Größenordnungen hervergehoben. Es leistet auch darüber hinaus einen wichtigen Beitrag, indem es unsere Sicht auf die Welt auf eine zahlengestützes Fundament stellt.

Und um ein solches Fundament errichten zu können, muss man die Größenordungen von einigen wichtigen Referenzwerten kennen. Es hilft sich zum Beipsiel zu verdeutlichen, dass die USA etwa vier Mal so viele Einwohner wie Deutschland haben.

Ich komme aus dem Saarland und verwende daher folgende Heuristik. Das Saarland hat etwa ~1.000.000 Einwohner, Deutschland hat ~80.000.000 Einwohner. Die meisten Kennzahlen des Saarlandes mal 100 ergeben demnach in etwa den Wert für Deutschland. Das gilt beispielseise für die Anzahl an Förstern oder Lehrern (eine solche Dreisatzrechnung nimmt implizit ein lineares Verhältnis der Größen an, was oft nicht der Fall ist – für einfache Heuristiken ist das aber meistens unproblematisch)

Beispiele

• Kilo
• Mega
• Giga
• Tera
• Peta
• Exa
• ...
• Gogol

Normalverteilung

Die Normalverteilung sieht aus wie eine Glocke. Sie ist – wenn sie keine fat tails aufweist – in Mediocristan beheimatet. Die Normalverteilung kennt nur zwei Parameter: den Mittelwert und die Standardabweichung. 50 % der Werte sind rechts des Mittelwerts, die anderen 50 % auf der linken Seite.

Schwarze Schwäne gibt es nicht in Mediocristan. Bei der Körpergröße ist das der Fall: Es gibt keinen Menschen, der 5 m groß ist – in Mediocristan ist alles ruhig und geordnet und sauber um den Mittelwert verteilt. Dieses naive Konzept führt – wenn es in Moellen verwendet wird – zur Unterbewertung von Risiken. Dann treten die schwarzen Schwäne aus Extremistan auf, die man vorher gar nicht auf dem Schirm hatte.

Ein Sigma bedeutet eine Standardabweichung. Bei der Standardnormalverteilung befinden sich etwa ⅔ der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert (je 34 % links und rechts). Dann aber flacht die Kurve ab. Bereits 95 % aller Werte befinden sich ± zwei Standardabweichungen – das heißt zwei Sigmas – vom Mittelwert entfernt. Wer rechts von drei Sigmas liegt, gehört zu den 0, 1 %.

Auch die Intelligenz ist normalverteilt. Deshalb ist ein IQ von 130 schon extrem selten – und längst nicht alle Kinder, deren Eltern von hochbegabten Sprösslingen ausgehen, sind tatsächlich hochbegabt.

Wichtig: Die Normalverteilung macht nur bei Variabeln Sinn, die in Mediocristan leben. Heißt: Sie eigent sich nicht um den Erfolg von Musikern oder Unternehmern abzubilden. Denn die Variable "Erfolg" lebt in Extremistan – und dort gibt es die Normalverteilung nicht.

Beispiele

• Carl Friedrich Gaus
• Mediocristan
• IQ
• System 1

Das Gesetz der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahl bildet das Fundament der Statistik und ist demzufolge auch für die Wissenschaftliche Methode von unschätzbarer Bedeutung.

Wenn ich einen perfekten Würfel 20 Mal würfele, dann kann es gut sein, dass eine "4" 5 Mal vorkommt (also mehr, als es die Erwartungswahrscheinlichkeit vermuten lassen würde). Doch wenn ich 100.000 Mal würfele, dann wird die Wahrscheinlichkeit, eine "4" zu würfeln immer näher an die Erwartungswahrscheinlichkeit heranreichen.

Aus genau diesem Grund bedarf es für eine hinreichend große statistische Signifikanz – je nach gewählten Signifikanzniveau oder α – auch einer entsprechend großen Stichprobe n.

Das Gesetz der großen Zahl besagt, dass man Rückschlüssen, die auf wenigen Daten basieren – also ein kleines n aufweisen – skeptisch gegenüber sein sollte, da Outlier hier das Ergebnis deutlich verzerren können.

Beispiele

• Statistische Signifikanz
• Stichprobengröße
• Outlier

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes hat mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun. Er erlaub es uns, eine Ausgangswahrscheinlichkeit, die als prior bezeichnet wird – die base rate – durch ein signal genauer zu bestimmen. Man erhält dann den posterior. Der posterior ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn wir bereits wissen, dass B gilt oder eingetreten ist. Der Mathematiker nennt das dann "A gegeben B".

Mit dem Satz von Bayes' lassen sich falsch positive und falsch negative berechnen, wie in diesem Artikel (opens new window)dargestellt wird.

Der Satz von Bayes wird von den meisten Statistik-Dozenten didaktisch sehr unglücklich vermittelt. Sie zeigen die Formel, schrecken so Studenten ab. Gigerenzer, einer der profiliertesten deutschen Forscher auf dem Gebieten Risiko und Wahrscheinlichkeiten, nutzt stattdessen eine intuitive Methode. Viel wichtiger noch: Er erläutert, warum der Satz von Bayes in der Wissenschaft von großer Bedeutung ist.

Seine Forschung zeigt aber auch, dass gerade Ärzte den Satz von Bayes kaum beherrschen. Und dabei müssen Ärzte Studien mit statistischen Tests verstehen und basierend auf empirischen Daten Entscheidungen treffen. Die Ergebnisse von Gigerenzer zeigen, dass die Ausbildung der deutschen Mediziner in dieser Hinsicht völlig versagt.

Für jeden der mit Wahrscheinlichkeiten arbeitet ist ein tiefes Verständis des Satz von Bayes unerlässlich!

Beispiele

• Daniel Kahneman
• Thomas Bayes
• Conjunction Fallacy

Korrelation vs. Kausalität

"Cum hoc ergo propter hoc" — Lateinisches Sprichwort

Wenn A mit B korreliert, bedeutet das, dass A eintritt wenn auch B eintritt (und umgekehrt). Die Korrelation wird über die Kovarianz bestimmt und ist definiert zwischen -1 und 1. Eine Korrelation von 1 bedeutet, dass eine perfekte lineare Beziehung zwischen A und B existiert.0 bedeutet, dass keine Beziehung zwischen den beiden vorliegt und -1, dass B steigt, wenn A fällt. Werte dazwischen weisen auf einen geringeren Effekt hin: Eine Korrelation von 0.3 bedeutet, dass 30 % der Varianz erklärt werden kann.

Oft wird die Korrelation mit der Kausalität verwechselt; rote Autos sind schneller als silberne Autos, aber liegt das wirklich daran, dass sie rot sind oder gibt es einen anderen Grund? Wenn A und B korrelieren, heißt das nicht zwangsläufig, dass A für B ursächlich verantwortlich ist. Damit aus einer Korrelation eine Kausalität wird, müssen folgende vier Bedingungen erfüllt ein:

1. A und B müssen unterschiedliche Konstrukte sein (distinct entities)
2. Es muss eine Korrelation zwischen A und B vorliegen (association)
3. Die Ursache muss zeitlich vor der Wirkung erfolgen (temporal precedence)
4. Es gibt keine anderen Einflussgrund (eliminating other causal explanations)

Gerade der letzte Punkt ist schwierig zu prüfen. Es bedeutet, dass es kein C gibt, dass sowohl auf A als auch auf B einen Einfluss hat.

Beispiele

• Spurious correlations
• Mierschied-Gesetz
• Cum hoc, ergo propter hoc

Regression zur Mitte

Regression zur Mitte bedeutet, dass sich Zahlen und Systeme langfristig an Mittelwert orientieren.

Ein Beispiel: Ein Fußballverein, der ein Jahr weit überdurchschnittlich oberhalb der Erwartungen performt hat (Leicester City) wird im darauffolgenden Jahr wieder eine Performance zeigen, die näher am Mittelwert liegt. Die Tatsache, dass Leicester City in den Saisons nach der unerwarteten Meisterschaft wieder dort in der Liga stand, wo man es erwarten würde, beweist die Regression zur Mitte.

Da wir Menschen alles logisch erklären wollen, können uns solche Ausreißer täuschen. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn man ein Medikament nimmt und in den Tagen nach der Einnahme gesund wird. Wir können uns nicht sicher sein, ob das Medikament dafür kausal verantwortlich ist, oder ob der Körper einfach ganz natürlich wieder zum "normalen" Gesundheitszustand zurückkehrt.

Die Regression zur Mitte hat mit dem Denken in Wahrscheinlichkeiten und natürlich auch mit Ockhams Rasiermesser zu tun. Denn oft ist die einfachste Erklärung, dass es sich bei einem unwahrscheinlichen Ergebnis einfach um einen Ausreißer handelt. Die Wahrscheinlichkeit ist hoch, dass die nächsten Ergebnisse wieder in der Nähe des zu erwartendend Werts zu finden sein werden.

Beispiele

• Sports Illustrated cover jinx
• Wieder gesund werden
• One-Hit-Wonder

Verwante Modelle

• Wissenschaftliche Methode
• Gesetz der großen Zahl
• Denken in Wahrscheinlichkeiten
• Ockhams Rasiermesser